Методика расчёта
Что рассчитывает калькулятор
Калькулятор определяет геометрические характеристики поперечного сечения стержня, которые нужны для расчёта напряжений, прогибов и устойчивости в сопротивлении материалов и строительной механике:
- площадь сечения A;
- координаты центра тяжести xc и yc;
- осевые моменты инерции Ixc и Iyc относительно центральных осей;
- моменты сопротивления Wxc и Wyc;
- для несимметричных сечений — угол наклона главных центральных осей θ, центробежный момент инерции Ixy, главные моменты инерции Iu и Iv, моменты сопротивления Wu и Wv.
Шаг 1. Составное сечение из простых фигур
Сечение собирается из параметрических фигур: прямоугольник, двутавр, швеллер, уголок равнополочный и неравнополочный, тавр, крестовое и коробчатое сечение, треугольник, круг, полукруг, кольцо. Фигуры можно поворачивать на произвольный угол и отмечать как отверстия. Так задаются сварные балки, сечения из прокатных профилей, усиленные листами, железобетонные тавровые и двутавровые сечения.
Прокатные профили выбираются из сортамента: двутавры по СТО АСЧМ 20-93, ГОСТ 26020-83, ГОСТ 8239-89 и ГОСТ 19425-74, швеллеры по ГОСТ 8240-89, уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 и неравнополочные по ГОСТ 8510-86, тавры по ТУ 14-2-685-86, трубы круглые по ГОСТ 10704-91 и профильные по ГОСТ 30245-2003. Площадь, положение центра тяжести и моменты инерции профиля берутся из таблиц стандарта, профиль можно повернуть и отразить.
Шаг 2. Центр тяжести
Для каждой фигуры известны площадь Ai и положение собственного центра тяжести. Статические моменты сечения Sx и Sy равны сумме произведений площадей фигур на координаты их центров тяжести. Координаты центра тяжести всего сечения получаются делением статических моментов на суммарную площадь. Площадь и статические моменты вырезов берутся со знаком минус.
Шаг 3. Моменты инерции по теореме Штейнера
Собственные моменты инерции каждой фигуры переносятся на центральные оси сечения по теореме о параллельном переносе осей (теореме Штейнера):
Ix = Ix0 + A · a2,
где a — расстояние между собственной центральной осью фигуры и центральной осью сечения. Для повёрнутых фигур моменты инерции предварительно пересчитываются на повёрнутые оси. Центробежный момент инерции Ixy переносится аналогично.
Шаг 4. Главные центральные оси
Если центробежный момент инерции Ixy не равен нулю, центральные оси x и y не являются главными. Угол наклона главных осей θ и главные моменты инерции Iu (наибольший) и Iv (наименьший) определяются по формулам поворота осей. У сечений с осью симметрии главные оси совпадают с центральными, и этот блок не выводится.
Шаг 5. Моменты сопротивления
Момент сопротивления равен моменту инерции относительно центральной оси, делённому на расстояние от оси до наиболее удалённой точки сечения. Это минимальный момент сопротивления: по нему определяются наибольшие нормальные напряжения в крайнем волокне при изгибе.
Где применяются характеристики
- нормальные напряжения при изгибе — через момент сопротивления W;
- прогибы балок — через момент инерции I и изгибную жёсткость EI;
- гибкость и устойчивость сжатых стержней — через наименьший момент инерции и радиус инерции;
- косой изгиб и внецентренное сжатие несимметричных сечений — через главные центральные оси;
- исходные данные для расчётных программ, где сечение задаётся числовыми характеристиками.
Ограничения калькулятора
- Сечение считается однородным: фигуры из разных материалов не приводятся к одному материалу
- Площадь и моменты инерции прокатных профилей берутся из таблиц ГОСТ; контур профиля со скруглениями используется для чертежа и для моментов сопротивления составного сечения
- Пересекающиеся фигуры, не отмеченные как отверстие, учитываются дважды — фигуры нужно располагать встык
- Секториальные характеристики и момент инерции при кручении не рассчитываются
Часто задаваемые вопросы
Какие геометрические характеристики сечения рассчитывает калькулятор?
Площадь A, координаты центра тяжести xc и yc, осевые моменты инерции Ixc и Iyc и моменты сопротивления Wxc и Wyc относительно центральных осей. Для несимметричных сечений дополнительно выводятся угол наклона главных центральных осей, центробежный момент инерции Ixy, главные моменты инерции Iu и Iv и моменты сопротивления относительно главных осей.
Как рассчитать момент инерции составного сечения?
Сечение разбивается на простые фигуры. Сначала находится общий центр тяжести, затем момент инерции каждой фигуры переносится на центральную ось всего сечения по теореме Штейнера: к собственному моменту инерции фигуры добавляется произведение её площади на квадрат расстояния между осями. Результаты по всем фигурам складываются, моменты инерции вырезов вычитаются.
Как определяется момент сопротивления сечения?
Момент сопротивления равен моменту инерции относительно центральной оси, делённому на расстояние от этой оси до наиболее удалённой точки сечения. Для несимметричного сечения это минимальный момент сопротивления: по нему определяются наибольшие нормальные напряжения при изгибе.
Можно ли учесть отверстия и вырезы в сечении?
Да. Любую фигуру можно отметить флажком «Отверстие»: её площадь, статические моменты и моменты инерции вычитаются из характеристик сечения. Коробчатое и кольцевое сечения уже содержат внутренний вырез.
Можно ли собрать сечение из прокатных профилей по ГОСТ?
Да. В группе «Прокатные профили (ГОСТ)» есть двутавры, швеллеры, уголки, тавры, круглые и профильные трубы. Профиль перетаскивается на холст, номер выбирается из списка сортамента. Площадь и моменты инерции профиля берутся из таблиц ГОСТ, а характеристики составного сечения — профилей вместе с листами и другими фигурами — рассчитываются по теореме Штейнера.
В каких единицах выводятся результаты?
Размеры фигур задаются в миллиметрах. Результаты можно показать в миллиметрах, сантиметрах или метрах: площадь в мм², см² или м², моменты инерции в мм⁴, см⁴ или м⁴, моменты сопротивления в мм³, см³ или м³.